如何计算数学期望值

数学期望值在概率论和统计学中占据着关键地位，它反映了随机变量取值的平均水平。深入理解并掌握其计算方法，对于解决诸多实际问题意义重大。

离散型随机变量的数学期望

对于离散型随机变量⁄(x⁄)，其取值为⁄(x_i⁄)，对应的概率为⁄(p(x = x_i)=p_i⁄)，数学期望⁄(e(x)=⁄sum_{i}x_ip_i⁄)。

例如，投掷一枚均匀骰子，设随机变量⁄(x⁄)表示骰子的点数。⁄(x⁄)取值为⁄(1,2,3,4,5,6⁄)，且⁄(p(x = k)=⁄frac{1}{6}⁄)，⁄(k = 1,2,⁄cdots,6⁄)。则⁄(e(x)=1⁄times⁄frac{1}{6}+2⁄times⁄frac{1}{6}+3⁄times⁄frac{1}{6}+4⁄times⁄frac{1}{6}+5⁄times⁄frac{1}{6}+6⁄times⁄frac{1}{6}=⁄frac{21}{6}=3.5⁄)。

连续型随机变量的数学期望

对于连续型随机变量⁄(x⁄)，其概率密度函数为⁄(f(x)⁄)，数学期望⁄(e(x)=⁄int_{-⁄infty}^{⁄infty}xf(x)dx⁄)。

比如，已知某电子元件的使用寿命⁄(x⁄)服从参数为⁄(⁄lambda⁄)的指数分布，概率密度函数⁄(f(x)=⁄begin{cases}⁄lambda e^{-⁄lambda x},&x⁄gt0⁄⁄0,&x⁄leq0⁄end{cases}⁄)。则⁄(e(x)=⁄int_{0}^{⁄infty}x⁄lambda e^{-⁄lambda x}dx⁄)，通过分部积分可求得⁄(e(x)=⁄frac{1}{⁄lambda}⁄)。

数学期望的性质

数学期望具有众多实用性质。若⁄(x⁄)为随机变量，⁄(a,b⁄)为常数，则⁄(e(ax + b)=ae(x)+b⁄)。利用该性质，能简化复杂随机变量数学期望的计算。

在实际生活中，数学期望值广泛应用于经济决策、风险评估等领域。例如，投资决策时，通过计算不同投资方案收益的数学期望，比较风险与收益，帮助投资者做出更优选择。

总之，数学期望值的计算方法丰富多样，通过实例解析能更好地理解其内涵与应用，为解决实际问题提供有力工具。

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